Bigrefi Nicolaus Copernicus

Nicolaus Copernicus

Gambar potret dari Toruń, awal abad ke-16
Lahir	19 Februari 1473, Toruń (Thorn), sekarang Polandia.
Wafat	24 Mei 1543 (umur 70), Frombork (Frauenburg), Warmia, sekarang Polandia
Bidang	Matematika, astronomi, hakim, tabib, ilmuwan, rahib Katolik, gubernur, pejabat negara, komandan militer, diplomat, ahli ekonomi
Alma Mater	Universitas Kraków, Universitas Bologna, Universitas Padua, Universitas Ferrara.
Dikenal atas	Heliosentrisme
Agama	Katolik Roma

Niklas Koppernigk (latin: Nicolaus Copernicus; bahasa Polandia Mikołaj Kopernik; lahir di Toruń, 19 Februari 1473 – meninggal di Frombork, 24 Mei 1543 pada umur 70 tahun) adalah seorang astronom, matematikawan, dan ekonom berkebangsaan Polandia, yang mengembangkan teori heliosentrisme (berpusat di matahari) Tata Surya dalam bentuk yang terperinci, sehingga teori tersebut bermanfaat bagi sains. Ia juga seorang kanon gereja, gubernur dan administrator, hakim, astrolog, dan tabib. Teorinya tentang matahari sebagai pusat Tata Surya, yang menjungkirbalikkan teori geosentris tradisional (yang menempatkan Bumi di pusat alam semesta) dianggap sebagai salah satu penemuan yang terpenting sepanjang masa, dan merupakan titik mula fundamental bagi astronomi modern dan sains modern (teori ini menimbulkan revolusi ilmiah). Teorinya memengaruhi banyak aspek kehidupan manusia lainnya. Universitas Nicolaus Copernicus di Torun, didirikan tahun 1945, dinamai untuk menghormatinya.

“

“Ada beberapa 'pembual' yang berupaya mengkritik karya saya, padahal mereka sama sekali tidak tahu matematika, dan dengan tanpa malu menyimpangkan makna beberapa ayat dari Tulisan-Tulisan Kudus agar cocok dengan tujuan mereka, mereka berani mengecam dan menyerang karya saya; saya tidak khawatir sedikit pun terhadap mereka, bahkan saya akan mencemooh kecaman mereka sebagai tindakan yang gegabah”.

”

Nikolaus Kopernikus menulis kata-kata yang dikutip di atas kepada Paus Paulus III. Kopernikus mencantumkan kata-kata itu dalam karya terobosannya yang berjudul On the Revolutions of the Heavenly Spheres (mengenai perputaran bola-bola langit), yang diterbitkan pada tahun 1543. Mengenai pandangan yang dinyatakan dalam karyanya ini, Christoph Clavius, seorang imam Yesuit pada abad ke-16, mengatakan, "Teori Kopernikus memuat banyak pernyataan yang tidak masuk akal atau salah". Teolog Jerman, Martin Luther, menyayangkan, "Si dungu itu akan mengacaukan seluruh ilmu astronomi".

Latar belakang pemuda yang haus pengetahuan

Lahir pada tanggal 19 Februari 1473 di Toruń, yang pada waktu itu di bawah kekuasaan suatu ordo Kristen bernama Ordo Teutonicum, nama aslinya ialah Niklas Koppernigk (Mikołaj Kopernik, dalam bahasa Polandia yang merupakan bahasa sehari-hari pada waktu itu). Baru belakangan, sewaktu ia mulai menulis karya akademinya, ia menggunakan nama Latin, Nicolaus Copernicus. Ayahnya, seorang saudagar yang berdagang di Toruń, mempunyai empat anak; Nicolaus adalah si bungsu. Sewaktu Nicolaus berusia 11 tahun, ayahnya meninggal. Seorang paman, bernama Lucas Waczenrode, mengasuh Nicolaus dan saudara-saudara kandungnya. Ia membantu Nicolaus memperoleh pendidikan yang baik, menganjurkannya untuk menjadi imam.
Pendidikan Nicolaus dimulai di kampung halamannya, tetapi belakangan dilanjutkan di Chełmno yang tidak jauh dari situ. Di sana ia belajar bahasa Latin dan mempelajari karya para penulis kuno. Pada usia 18 tahun, ia pindah ke Kraków, ibukota Polandia saat itu. Di kota ini ia kuliah di universitas dan mengajar dan mengejar hasratnya akan astronomi. Setelah ia menyelesaikan pendidikannya di Kraków, paman dari Nikolaus — yang pada waktu itu telah menjadi uskup di Warmia — memintanya untuk pindah ke Frombork, sebuah kota di Laut Baltik. Waczenrode ingin kemenakannya menduduki jabatan staf katedral.
Akan tetapi, Nicolaus yang berusia 23 tahun ingin memuaskan dahaganya akan pengetahuan dan berhasil membujuk pamannya untuk mengizinkan dia mempelajari hukum gereja, kedokteran, dan matematika di berbagai universitas di Bologna dan Padua, Italia. Di sana, Nicolaus bergabung dengan astronom Domenico Maria Novara dan filsuf Pietro Pomponazzi. Sejarawan Stanisław Brzostkiewicz mengatakan bahwa ajaran Pomponazzi telah "membebaskan pikiran astronom muda ini dari cengkraman ideologi abad pertengahan".
Di waktu senggangnya, Copernicus mempelajari karya para astronom zaman dahulu, menjadi begitu larut dalam karya tersebut sampai-sampai ketika ia mengetahui karya Latin itu tidak lengkap, ia mempelajari bahasa Yunani agar dapat meneliti naskah aslinya. Pada akhir pendidikannya, Nicolaus telah menjadi doktor hukum gereja, matematikawan, dan dokter. Ia juga pakar bahasa Yunani, menjadi orang pertama yang menerjemahkan sebuah dokumen dari bahasa Yunani langsung ke bahasa Polandia.

Menelurkan teori yang revolusioner

Sepulangnya ke Polandia, pamannya melantik dia sebagai sekretaris, penasihat, dan dokter pribadinya — suatu kedudukan yang bergengsi. Selama puluhan tahun berikutnya, Nicolaus menjabat berbagai kedudukan administratif, baik di bidang agama maupun sipil. Meski sangat sibuk, ia melanjutkan penelitiannya tentang bintang dan planet, mengumpulkan bukti untuk mendukung suatu teori yang revolusioner bahwa bumi bukan pusat yang tidak bergerak dari alam semesta tetapi, sebenarnya, bergerak mengitari matahari.
Teori ini bertentangan dengan ajaran filsuf yang terpandang, Aristoteles, dan tidak sejalan dengan kesimpulan matematikawan Yunani, Ptolemeus. Selain itu, teori Copernicus menyangkal apa yang dianggap sebagai "fakta" bahwa matahari terbit di timur dan bergerak melintasi angkasa untuk terbenam di barat, sedangkan bumi tetap tidak bergerak.
Copernicus bukanlah orang yang pertama yang menyimpulkan bahwa bumi berputar mengitari matahari. Astronom Yunani Aristarkhus dari Samos telah mengemukakan teori ini pada abad ketiga Sebelum Masehi. Para pengikut Pythagoras telah mengajarkan bahwa bumi serta matahari bergerak mengitari suatu api pusat. Akan tetapi, Ptolemeus menulis bahwa jika bumi bergerak, "binatang dan benda lainnya akan bergelantungan di udara, dan bumi akan jatuh dari langit dengan sangat cepat". Ia menambahkan, "sekadar memikirkan hal-hal itu saja terlihat konyol".
Ptolemeus mendukung gagasan Aristoteles bahwa bumi tidak bergerak di pusat alam semesta dan dikelilingi oleh serangkaian bola bening yang saling bertumpukan, dan bola-bola itu tertancap matahari, planet-planet, dan bintang-bintang. Ia menganggap bahwa pergerakan bola-bola bening inilah yang menggerakan planet dan bintang. Rumus matematika Ptolemeus menjelaskan, dengan akurasi hingga taraf tertentu, pergerakan planet-planet di langit malam.
Namun, kelemahan teori Ptolemeus itulah yang mendorong Copernicus untuk mencari penjelasan alternatif atas pergerakan yang aneh dari planet-planet. Untuk menopang teorinya, Kopernikus merekonstruksi peralatan yang digunakan oleh para astronom zaman dahulu. Walaupun sederhana dibandingkan dengan standar modern, peralatan ini memungkinkan dia menghitung jarak relatif antara planet-planet dan matahari. Selama bertahun-tahun, ia berupaya menetukan secara persis tanggal-tanggal manakala para pendahulunya telah membuat beberapa pengamatan penting di bidang astronomi. Diperlengkapi dengan data ini, Copernicus mulai mengerjakan dokumen kontroversial yang menyatakan bahwa bumi dan manusia di dalamnya bukanlah pusat alam semesta.

Kontroversi manuskrip

Monumen Copernicus di Warsawa, Polandia yang dipahat oleh Bertel Thorvaldsen.

Copernicus menggunakan tahun-tahun terakhir kehidupannya untuk memperbaiki dan melengkapi berbagai argumen dan rumus matematika yang menopang teorinya. Lebih dari 95 persen dokumen akhir itu memuat perincian teknis yang mendukung kesimpulannya. Dokumen tulisan tangan orisinal ini masih ada dan disimpan di Universitas Jagiellonian di Kraków, Polandia. Dokumen ini tidak berjudul. Oleh karena itu, astronom Fred Hoyle menulis, "Kita benar-benar tidak tahu bagaimana Copernicus ingin menamai bukunya itu".
Bahkan sebelum karya itu diterbitkan, isinya telah membangkitkan minat. Copernicus telah menerbitkan sebuah rangkuman singkat tentang gagasannya dalam sebuah karya yang disebut Commentariolus. Alhasil, laporan tentang penelitiannya sampai ke Jerman dan Roma. Pada awal tahun 1533, Paus Klemens VII mendengar tentang teori Copernicus. Dan, pada tahun 1536, Kardinal Schönberg menyurati Copernicus, mendesak dia untuk menerbitkan catatan lengkap gagasannya. Georg Joachim Rhäticus, seorang profesor di Universitas Wittenberg di Jerman, begitu penasaran oleh karya Copernicus sampai-sampai ia mengunjungi Copernicus dan akhirnya menghabiskan waktu bersamanya selama dua tahun. Pada tahun 1542, Rhäticus membawa pulang sebuah salinan manuskrip itu ke Jerman dan menyerahkannya kepada seorang tukang cetak bernama Petraeius dan seorang juru tulis sekaligus korektor tipografi bernama Andreas Osiander.
Osiander menjuduli karya itu De revolutionibus orbium coelestium (Mengenai Perputaran Bola-Bola Langit). Dengan mencantumkan frasa “bola-bola langit”, Osiander menyiratkan bahwa karya itu dipengaruhi oleh gagasan Aristoteles. Osiander juga menulis kata pengantar anonim, yang menyatakan bahwa hipotesis dalam buku itu bukanlah artikel tentang iman dan belum tentu benar. Copernicus tidak menerima salinan dari buku yang dicetak itu, yang diubah dan dikompromikan tanpa seizinnya, sampai hanya beberapa jam sebelum kematiannya pada tahun 1543.

“

Dalam pemikiran manusia, ia juga “menghentikan matahari dan menggerakkan bumi”.

”

"Mengenai Perputaran" — karya yang revolusioner

Perubahan yang dibuat Osiander pada mulanya meluputkan buku itu dari kecaman. Asronom dan fisikawan Italia, Galileo, belakangan menulis, "Sewaktu dicetak, buku itu diterima oleh Gereja suci dan telah dibaca dan dipelajari oleh setiap orang tanpa sedikit pun kecurigaan bahwa gagasan ini bertentangan dengan doktrin-doktrin gereja. Namun, mengingat sekarang ada berbagai pengalaman dan bukti penting yang memperlihatkan bahwa gagasan itu memiliki bukti yang kuat, muncullah orang-orang yang hendak mendiskreditkan pengarangnya tanpa membaca bukunya sedikit pun".
Kaum Lutheran merupakan yang pertama-tama menyebut buku itu "tidak masuk akal". Gereja Katolik, meski pada mulanya tidak menyatakan kecaman, memutuskan bahwa buku itu bertentangan dengan doktrin resminya dan pada tahun 1616 mencantumkan karya Copernicus ke dalam buku-buku terlarang. Buku itu baru dicabut dari daftar ini pada tahun 1828. Dalam kata pengantarnya untuk terjemahan bahasa Inggris dari buku itu, Charles Glenn Wallis menjelaskan, "Pertikaian antara Katolik dan Protestan membuat kedua sekte itu takut pada skandal apa pun yang tampaknya dapat merongrong respek terhadap Kegerejaan Alkitab, dan akibatnya mereka menjadi terlalu harfiah dalam membaca ayat Alkitab dan cenderung mengutuki setiap pernyataan yang dapat dianggap sebagai penyangkalan atas setiap penafsiran harfiah dari setiap ayat dalam Alkitab". Sebagai contoh, kisah yang dicatat di Yosua 10:13, yang menceritakan tentang matahari yang dibuat tidak bergerak, digunakan untuk menegaskan bahwa matahari, bukan bumi, yang biasanya bergerak. Mengenai anggapan bahwa teori Kopernikus bertentangan dengan ajaran Alkitab, Galileo menulis, " [Copernicus] tidak mengabaikan Alkitab, tetapi ia tahu betul bahwa jika doktrinnya terbukti, hal itu tidak akan bertentangan dengan Alkitab apabila ayat-ayatnya dipahami dengan benar".
Dewasa ini, Copernicus disanjung oleh banyak orang sebagai Bapak Astronomi Modern. Memang, uraiannya tentang alam semesta telah dimurnikan dan diperbaiki oleh ilmuwan yang tekemudian, seperti Galileo, Kepler, dan Newton. Akan tetapi, astofisikawan Owen Gingerich mengomentari, "Copernicuslah yang dengan karyanya memperlihatkan kepada kita bagaimana rapuhnya konsep ilmiah yang sudah diterima untuk waktu yang lama". Melalui penelitian, pengamatan, dan matematika, Kopernikus menjungkirkbalikkan konsep ilmiah dan agama yang berurat berakar tetapi keliru. Dalam pemikiran manusia, ia juga “menghentikan matahari dan menggerakkan bumi”.

Kontroversi kewarganegaraan

Kewarganegaraan Copernicus mulai abad ke-19 menjadi bahan perdebatan sengit. Namun sebenarnya ia bisa dikategorisasikan baik sebagai warga Jerman maupun Polandia. Dalam bahasa Jerman namanya secara umum dieja sebagai Kopernikus dan merupakan versi Latin dari nama Jerman Koppernigk. Dalam bahasa Polandia namanya dieja sebagai Mikołaj Kopernik. Ibu Kopernikus yang bernama Barbara Watzenrode merupakan seorang warga Jerman. Sedangkan kewarganegaraan ayahnya tidak diketahui. Kota kelahirannya Toruń tidak lama sebelum ia lahir dikuasai raja-raja Polandia, sehingga ia bisa dianggap sebagai warga Polandia.

Biografi Werner Heisenberg

Werner Heisenberg

Werner Heisenberg

Werner Karl Heisenberg (5 Desember 1901 - 1 Februari 1976) adalah seorang ahli teori sub-atom dari Jerman, pemenang Penghargaan Nobel dalam Fisika 1932.

1 Tahun-tahun awal 2 Karir 3 Proyek bom atom Nazi 4 Pascaperang 5 Kutipan 6 Pranala luar

Tahun-tahun awal

Tahun-tahun sekolah lanjutan Werner Heisenberg terputus oleh Perang Dunia I, saat ia terpaksa meninggalkan sekolah untuk membantu memungut hasil panen di negeri Bayern. Kembali ke München setelah perang, ia bersukarela menjadi pembawa pesan untuk angkatan sosialis demokrat yang bertempur dan mengusir pemerintahan komunis yang telah mengambil kontrol Bayern. Ia terlibat dalam kelompok pemuda yang mencoba membangun kembali masyarakat Jerman dari abu Perang Dunia I, termasuk "Pramuka Baru" yang mengharapkan kehidupan Jerman melalui pengalaman langsung kepada alam, puisi romantik, musik, dan pemikiran.

Karir

Heisenberg merupakan salah satu penyumbang besar ilmu fisika pada abad ke-20. Pada tahun 1920 ia memasuki Universitas München untuk belajar matematika. Namun guru besar matematika tak mengizinkannya pada seminar lanjutan, maka ia berhenti. Ia kemudian pindah ke fisika. Segera ia mengambil perhatian dalam fisika teoretis, dan segera bertemu banyak ilmuwan yang karyanya akan mendominasi dasawarsa-dasawarsa berikutnya, termasuk Niels Henrik David Bohr, Wolfgang Ernst Pauli, Max Born, dan Enrico Fermi. Satu dari perhatian utamanya ialah menyusun masalah dalam model atom Bohr-Rutherford. Ia baru saja menerima Ph.D.-nya pada tahun 1923 — hampir gagal sebab ia melalaikan karya laboratoriumnya. Penasihatnya berdebat atas namanya dan ia diberi gelar. Ia menjadi profesor di Universitas Gottingen pada usia 22. Karena menderita beberapa alergi musiman, ia meninggalkan Bayern ke pulau Heligoland. Di sana ia memiliki waktu berpikir dan memecahkan masalah model atom. Ia merealisasikan pembatasan model visual dan mengusulkan bekerja keras dengan data eksperimental dan hasil matematika. Untuk melakukannya ia menerapkan sistem matematika pada fisika atom, disebut mekanika matriks. Inilah titik balik fisika. Banyak orang di bidang ini tak suka karena tak menyediakan model fisika untuk menghubungkannya. Erwin Schrodinger muncul dengan mekanika gelombang sekitar setahun kemudian. Ketidaknyamanan dengan sistem Heisenberg naik pada sisi mekanika gelombang. Pertentangan antarteori terpecahkan kembali saat Schrödinger membuktikan bahwa semuanya identik.
Pada tahun 1926 Heisenberg mengikuti Bohr ke Institut Fisika Teori di Kopenhagen. Ini menjadi satu dari masa paling produktif dalam kehidupan Heisenberg. Pada tahun 1927 ia memikirkan sifat kuantum dasar pada elektron. Ia mewujudkan bahwa tindakan pengukuran sifat elektron dengan menembakkannya dengan sinar gamma akan mengubah perilaku elektron. Ia menghubungkannya dalam persamaan menggunakan tetapan Planck, dan menyebutnya teori ketidakpastian. Saat banyak orang mempertahankan gagasan ini, akhirnya diterima sebagai hukum dasar alam. Albert Einstein sendiri menyanggahnya dengan mengatakan bahwa "Tuhan menciptakan alam ini tidak sedang bermain dadu".
Kemudian pada tahun 1927 Heisenberg kembali ke Jerman dan menjadi guru besar termuda di sana. Jabatan guru besar meminta urusan penuh pada tugas pengajaran dan administrasi, dan secara alamiah output ilmiahnya berkurang. Dengan kerusuhan politik di Jerman dan Perang Dunia II, hidup Heisenberg menjadi sulit. Ada eksodus massal ilmuwan Jerman pada tahun 1930-an, namun Heisenberg merupakan satu dari sedikit ilmuwan berderajat tinggi yang memutuskan tetap tinggal. Bersama dengan Max Karl Ernst Ludwig Planck, ia menunjukkan harapan sanggup melindungi tradisi dan institusi ilmiah Jerman. Pertama ia dan lainnya mencoba menghalangi usaha Adolf Hitler untuk "membersihkan" ilmu pengetahuan dan akademi, namun segera Nazi mengontrol universitas. Kedudukannya sendiri goyah sejak Nazi mengatakan fisikawan teoretis sebagai "Yahudi" dan selalu dicurigai. Usaha menaikkannya bertemu dengan lawan keras dari pemimpin politik dan malahan beberapa kolega. Ada waktu saat keamanan dirinya tak menentu.
Meskipun demikian, ia lulus penilaian kepribadian bahkan pimpinan pasukan SS (Schutzstaffel), Heinrich Himmler melarang penyerangan politis terhadap ahli fisika.
Namun saat perang mulai pemerintah mengakui, mencurigai atau tidak, kepentingan pengetahuan Heisenberg. Ia diangkat sebagai direktur proyek bom atom Jerman. Ia menghabiskan 5 tahun bekerja di sana.

Proyek bom atom Nazi

Meski bermasalah dengan pemerintahan Nazi, Heisenberg diperbolehkan menetap di Jerman bahkan loyal kepada Nazi. Setelah fisi Nuklir ditemukan di Jerman pada tahun 1939, Heisenberg masuk dalam program tenaga nuklir dibawah pimpinan Profesor Walther Bothe. Program ini mengembangkan sati dari senjata nuklir Jerman.
Tugas Heisenberg adalah menciptakan reaksi fisi yang bertahan dan menciptakan reaktor pembiakan plutonium di Hechingen. Di lain tempat Profesor Kurt Diebner dan Dr Paul Harteck, sejawatnya memimpin proyek bom atom tandingan. Mengerjakan pengayaan uranium dan bom atom berbasis uranium.
Di sinilah kontroversial muncul. Heinsenberg dianggap salah menghitung massa kritikal uranium yang dibutuhkan sebuah bom atom. Kesalahan inilah yang dituding sebagai biang kegagalan proyek nbom atom Jerman. Konon, saat Heisenberg mendengar kabar pengeboman Hiroshima, ia menganggap hal itu sebagai taktik propaganda Sekutu saja. Sementara di Jepang, Akio Morita, pendiri Sony juga pernah memperhitungkan bom atom ini saat bertugas di penelitian pengembangan persenjataan Angkatan Laut Jepang (Kaigun), Morita sendiri mengatakan bahwa Jepang perlu 20 tahun untuk membuatnya.
Heisenberg sendiri pernah membicarakan program pembuatan bom atom dengan Niels Bohr. Namun pembicaraan mereka tidak pernah tuntas karena Bohr keburu lari ke Amerika Serikat setelah lolos dari tahanan polisi Jerman. Tanpa basa-basi, Amerika Serikat merekrutnya dalam Proyek Manhattan.
Disini kemudian muncul spekulasi lainn yang mengatakan bahwa Heisenberg sebenarnya tahu banyak tentang semua teori atom namun ia sengaja memperlambat dan menggagalkan proyek nuklir Jerman atas alasan moral. Diam-diam, menteri persenjataan Albert Speer sendiri mendukung langkahnya ini, yang kemudian berbuah friksi di tubuh Nazi.

Pascaperang

Di akhir perang, Heisenberg ditangkap Sekutu dan ditahan di Inggris selama 6 bulan. Ia dibebaskan dan kembli ke Jerman saat ia mendirikan kembali Institut Kaiser Wilhelm untuk Fisika, namun menamainya kembali Institut Max Planck, untuk menghormati kawan dan koleganya.
Heisenberg memberi kuliah di berbagai negara pasca Perang Dunia II termasuk di Inggris, Amerika Serikat dan Skotlandia, sebelum akhirnya pindah ke Munich untuk bekerja di Institut Max Planck untuk Fisika. Pada tahun 1955-1956 Heisenberg memberi kuliah Gifford di St. Andrews University dan menulis buku Physik und Philosophie.
Pada tahun 1957, Heisenberg bersama Otto Hahn, Max Laue, Carl Friedrich von Weizsacker dan Max Born merumuskan dan menandatangani protes melawan pengerahan senjata nuklir oleh Angkatan Bersenjata Jerman dan di seluruh dunia. Rumusan ini dikenal sebagai Gottingen Declaration of the German Nuclear Physicist.
Ia memegang banyak kedudukan administratif di Jerman Barat dan mewakili negaranya pada pertempuran internasional. Ia beristirahat pada tahun 1970, dan meninggal pada tahun 1976 meninggalkan istri yang masih berusia 39 dan 7 anak.
Pada bulan Februari 2002, kisah tentang dirinya kembali mencuat setelah seseorang menemukan surat dai Niels Bohr yang tak terkirim. Surat inilah yang menjadi landasan jurnalis Robert Junk dalam tulisannya Brighter than a Thousand Suns untuk menggambarkan Heisenberg sebagai pahlawan. Ia dianggap sebagai pahlawan karena telah berusaha menyesatkan proyek Jerman sendirian, atas alasan moral

Bigrafi Galileo Galilei

Galileo Galilei

Galileo Galilei
Potret Galileo Galilei oleh Giusto Sustermans
Lahir	15 Februari 1564[1] Pisa, Toscana - Italia[1]
Wafat	8 Januari 1642 (umur 77)[1] Arcetri, Toscana - Italia[1]
Tempat tinggal	Keadipatian Agung Toscana
Bidang	Astronomi, Fisika dan Matematika
Alma Mater	Universitas Pisa
Dikenal atas	Kinematika Teleskop Tata surya
Agama	Katolik Roma

Galileo Galilei (lahir di Pisa, Toscana, 15 Februari 1564 – meninggal di Arcetri, Toscana, 8 Januari 1642 pada umur 77 tahun) adalah seorang astronom, filsuf, dan fisikawan Italia yang memiliki peran besar dalam revolusi ilmiah.
Sumbangannya dalam keilmuan antara lain adalah penyempurnaan teleskop, berbagai observasi astronomi, dan hukum gerak pertama dan kedua (dinamika). Selain itu, Galileo juga dikenal sebagai seorang pendukung Copernicus mengenai peredaran bumi mengelilingi matahari.
Akibat pandangannya yang disebut terakhir itu ia dianggap merusak iman dan diajukan ke pengadilan gereja Italia tanggal 22 Juni 1633. Pemikirannya tentang matahari sebagai pusat tata surya bertentangan dengan ajaran Aristoteles maupun keyakinan gereja bahwa bumi adalah pusat alam semesta. Ia dihukum dengan pengucilan (tahanan rumah) sampai meninggalnya. Baru pada tahun 1992 Paus Yohanes Paulus II menyatakan secara resmi bahwa keputusan penghukuman itu adalah salah, dan dalam pidato 21 Desember 2008 Paus Benediktus XVI menyatakan bahwa Gereja Katolik Roma merehabilitasi namanya sebagai ilmuwan.^[2]
Menurut Stephen Hawking, Galileo dapat dianggap sebagai penyumbang terbesar bagi dunia sains modern. Ia juga sering disebut-sebut sebagai "bapak astronomi modern", "bapak fisika modern", dan "bapak sains". Hasil usahanya bisa dikatakan sebagai terobosan besar dari Aristoteles. Konfliknya dengan Gereja Katolik Roma (Peristiwa Galileo) adalah sebuah contoh awal konflik antara otoritas agama dengan kebebasan berpikir (terutama dalam sains) pada masyarakat Barat.

1 Biografi 2 Astronomi 3 Rujukan 4 Lihat pula

Biografi

Galileo Galilei dilahirkan di Pisa, Tuscany pada tanggal 15 Februari 1564 sebagai anak pertama dari Vincenzo Galilei, seorang matematikawan dan musisi asal Florence, dan Giulia Ammannati. Ia sudah dididik sejak masa kecil. Kemudian, ia belajar di Universitas Pisa namun terhenti karena masalah keuangan. Untungnya, ia ditawari jabatan di sana pada tahun 1589 untuk mengajar matematika. Setelah itu, ia pindah ke Universitas Padua untuk mengajar geometri, mekanika, dan astronomi sampai tahun 1610. Pada masa-masa itu, ia sudah mendalami sains dan membuat berbagai penemuan.
Pada tahun 1612, Galileo pergi ke Roma dan bergabung dengan Accademia dei Lincei untuk mengamati bintik matahari. Di tahun itu juga, muncul penolakan terhadap teori Nicolaus Copernicus|Copernicus, teori yang didukung oleh Galileo. Pada tahun 1614, dari Santa Maria Novella, Tommaso Caccini mengecam pendapat Galileo tentang pergerakan bumi, memberikan anggapan bahwa teori itu sesat dan berbahaya. Galileo sendiri pergi ke Roma untuk mempertahankan dirinya. Pada tahun 1616, Kardinal Roberto Bellarmino menyerahkan pemberitahuan yang melarangnya mendukung maupun mengajarkan teori Copernicus.
Galileo menulis Saggiatore di tahun 1622, yang kemudian diterbitkan pada 1623. Pada tahun 1624, ia mengembangkan salah satu mikroskop awal. Pada tahun 1630, ia kembali ke Roma untuk membuat izin mencetak buku Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo yang kemudian diterbitkan di Florence pada 1632. Namun, di tahun itu pula, Gereja Katolik menjatuhkan vonis bahwa Galileo harus ditahan di Siena.
Di bulan Desember 1633, ia diperbolehkan pensiun ke vilanya di Arcetri. Buku terakhirnya, Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze diterbitkan di Leiden pada 1638. Di saat itu, Galileo hampir buta total. Pada tanggal 8 Januari 1642, Galileo wafat di Arcetri saat ditemani oleh Vincenzo Viviani, salah seorang muridnya.

Astronomi

Tidak seperti yang dipercaya sebagian orang, Galileo tidak menciptakan teleskop tapi ia telah menyempurnakan alat tersebut. Ia menjadi orang pertama yang memakainya untuk mengamati langit, dan untuk beberapa waktu, ia adalah satu dari sedikit orang yang bisa membuat teleskop sebagus itu. Awalnya, ia membuat teleskop hanya berdasarkan deskripsi tentang alat yang dibuat di Belanda pada 1608. Ia membuat sebuah teleskop dengan perbesaran 3x dan kemudian membuat model-model baru yang bisa mencapai 32x. Pada 25 Agustus 1609, ia mendemonstrasikan teleskop pada pembuat hukum dari Venesia. Selain itu, hasil kerjanya juga membuahkan hasil lain karena ada pedagang-pedagang yang memanfaatkan teleskopnya untuk keperluan pelayaran. Pengamatan astronominya pertama kali diterbitkan di bulan Maret 1610, berjudul Sidereus Nuncius.
Galileo menemukan tiga satelit alami Jupiter -Io, Europa, dan Callisto- pada 7 Januari 1610. Empat malam kemudian, ia menemukan Ganymede. Ia juga menemukan bahwa bulan-bulan tersebut muncul dan menghilang, gejala yang ia perkirakan berasal dari pergerakan benda-benda tersebut terhadap Jupiter, sehingga ia menyimpulkan bahwa keempat benda tersebut mengorbit planet.
Galileo adalah salah satu orang Eropa pertama yang mengamati bintik matahari, diperkirakan Astronomi astronom Tionghoa sudah mengamatinya sejak lama. Selain itu, Galileo juga adalah orang pertama yang melaporkan adanya gunung dan lembah di bulan, kesimpulan yang diambil melihat dari pola bayangan yang ada di permukaan. Ia kemudian memberi kesimpulan bahwa bulan itu "kasar dan tidak rata, seperti permukaan bumi sendiri", tidak seperti anggapan Aristoteles yang menyatakan bulan adalah bola sempurna.
Galileo juga mengamati planet Neptunus pada 1612 namun ia tidak menyadarinya sebagai planet. Pada buku catatannya, Neptunus tercatat hanya sebagai sebuah bintang yang redup.

Teleportasi

Teleportasi; Metode Transportasi Masa Depan

Sejak roda ditemukan lebih dari 5000 tahun yang lalu, orang-orang telah menemukan cara baru berpergian lebih cepat dari satu tempat ke tempat lain. Kereta kuda, sepeda, mobil, pesawat dan rocket semuanya telah diciptakan untuk mengurangi waktu tempuh yang diperlukan dalam perjalanan. Semua bentuk transportasi tersebut mempunyai prinsip yang sama; yakni melintasi jarak secara fisik, dan dapat membawa ke mana saja dari hitungan menit sampai jam tergantung dari titik awal dan akhir (tujuan).
Bagaimana jika ada suatu cara untuk memindahkan anda dari rumah ke supermarket tanpa menggunakan kendaraan, atau dari halaman rumah ke stasiun luar angkasa international tanpa menggunakan pesawat luar angkasa?

Definisi Teleportasi

Saat ini para ilmuan sedang bekerja dalam metode travel semacam itu, menyatukan sifat-sifat telekomunikasi dan transportasi untuk memperoleh suatu sistem yang disebut teleportasi.
Teleportasi melibatkan dematerialisasi suatu objek, dan mengirimkannya dalam bentuk detail susunan atom-atom ke lokasi lain yang menjadi tujuan. Hal ini berarti waktu dan ruang dapat dieliminasi dari suatu perjalanan (travel), sehingga kita dapat dipindahkan ke lokasi mana saja secara instan, tanpa melintasi jarak secara fisik. Mungkin anda dapat melihat contoh teleportasi dalam film Star trek.

Eksperimen Seputar Teleportasi

Pada tahun 1993, ide tentang teleportasi berpindah dari ranah fiksi ilmiah ke dalam dunia nyata. Ini terjadi ketika fisikawan Charles bennet dan tim peneliti dari IBM mengkonfirmasikan bahwa teleportasi kuantum adalah mungkin, tapi hanya jika objek asli yang dipindahkan di hancurkan. Pencerahan ini pertama di singgung oleh Bennet pada saat annual meeting American Physical Society (APS) pada maret 1993, diikuti dengan tulisannya tentang Physical review letters pada tanggal 29 Maret 1993. Sejak saat itu, eksperimen menggunakan photons telah membuktikan bahwa teleportasi kuantum adalah mungkin.
Pada tahun 1998, ahli fisika di California Institute of technology (Caltech), bersama dengan tim dari eropa, mengubah ide IBM menjadi kenyataan dengan sukses men-teleportasikan photon, partikel energi yang dalam cahaya. Grup Caltech berhasil membaca struktur atom dari photon, mengirimkan informasi ini melewati 3,28 kaki (kira-kira 1 meter) kabel koaksial dan menciptakan replikanya. Sesuai perkiraan, photon asli tidak lagi eksis setelah replica di buat.
Eksperimetn selanjutnya, tim Caltech berhasil mengatasi prinsip ketidakpastian Heisenberg, rintangan terbesar dalam teleportasi objek yang lebih besar dari photon. Prinsip ini mengatakan bahwa anda tidak dapat mengetahui lokasi dan kecepatan partikel secara bersama-sama. Tapi jika anda tidak dapat mengetahui pososo suatu partikel, lalu bagaimana anda men-teleprtasikannya? Untuk men-teleportasikan photon tanpa melanggar prinsip Heisenberg, ahli fisika Caltech menggunakan sebuah fenomena yang di sebut Entanglement.

Penerapan Teleportasi Pada Manusia

Berdasarkan hukum fisika, adalah tidak mungkin untuk membuat transporter yang dapat mengirim seseorang ke lokasi tertentu secara instant, dimana akan memerlukan perjalanan dalam kecepatan cahaya.
Untuk mentransportasikan satu orang, mesin harus dapat menentukan dan menganalisa secara tepat seluruh atom yang menyusun tubuh manusia yang berjumlah 10²⁸ atom, lebih dari 1 triliun atom. Mesin in harus dapat mengirimkan informasi ini ke lokasi lain, dimana tubuh orang akan direkonstruksi, dengan sangat akurat. Molekul atom tidak boleh bergeser meskipun hanya satu milimeter, sebab jika tidak, objek akan tiba dengan kerusakan neurologi dan fisiologi yang hebat.
Prinsip kerja mesin transporter hampir mirip dengan mesin fax namun dengan presisi yang lebih besar, duplikat seseorang akan dibuat pada titik tujuan sedangkan objek asli akan menghilang. Satu teori mengatakan bahwa teleportasi akan menggabungkan genetik cloning secara digital.
Pada biodigital cloning semacam ini, traveler (orang yang di teleportasikan) akan hilang. Pikiran original dan tubuh mereka tidak lagi eksis. Bahkan struktur atom mereka akan di susun ulang di lokasi lain yang menjadi tujuan, dan digitalisasi akan membuat ulang memori, emosi, harapan, dan mimpi sang traveler. Sehingga secara prinsip sang traveler masih eksis, tapi dalam tubuh baru dengan struktur atom yang sama dengan tubuh asli, serta dengan memori, perasaan, dan informasi yang tetap sama dengan yang asli.
Tapi sama seperti semua teknologi, para ilmuan tentu saja masih harus terus mengembangkan ide tentang teleportasi. Suatu hari, salah satu dari keturunan kita akan dapat bekerja pada suatu kantor di planet lain di luar galaksi kita dengan jarak ratusan juta tahun cahaya dari bumi.
Tapi tentu saja ini masih jauh untuk diwujudkan. Lagi pula bagi kita yang percaya tentang adanya roh atau jiwa, hal ini sangat tidak mungkin. Jika betul prisip teleportasi seperti yang telah dijelaskan diatas, maka apakah roh/jiwa dapat ikut di teleportasikan? Secara fisik tubuh kita memang tersusun dari atom-atom, gen yang membawa sifat dan karakter juga terdiri dari atom-atom, sehingga secara teori dapat di teleportasikan. Namun roh atau jiwa??
Bagaimanapun memang masih perlu banyak study lebih jauh. Yang jelas, bila ini benar-benar terwujud, maka Jakarta pasti akan bebas macet.
Sumber:

Definisi Kalkulus

Kalkulus

Topik dalam kalkulus

Teorema dasar Limit fungsi Kekontinuan Kalkulus vektor Kalkulus matriks Teorema nilai purata

Turunan

Kaidah darab Kaidah hasil-bagi Kaidah rantai Turunan implisit Teorema Taylor Laju berhubungan Tabel turunan

Integral

Tabel integral Integral takwajar Pengintegralan dengan: bagian per bagian, cakram, silinder, substitusi, substitusi trigonometri, pecahan parsia

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

1 Sejarah 1.1 Perkembangan 1.2 Pengaruh penting 2 Prinsip-prinsip dasar 2.1 Limit dan kecil tak terhingga 2.2 Turunan 2.2.1 Notasi pendiferensialan 2.3 Integral 2.3.1 Integral tertentu 2.3.2 Integral tak tentu 2.4 Teorema dasar 3 Aplikasi 4 Referensi 4.1 Sumber 4.2 Daftar Pustaka 5 Sumber lain 5.1 Bacaan lebih lanjut 5.2 Pustaka daring 5.3 Halaman web

Sejarah

Sir Isaac Newton adalah salah seorang penemu dan kontributor kalkulus yang terkenal.

Perkembangan

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Sejarah kalkulus

Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume piramida terpancung^[1]. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.^[2]
Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.^[3] Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle".^[4] Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral.^[5] Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. ^[6] Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari.. deret Taylor^[7], yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.^[8][9][10]
Pada zaman modern,, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.

Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.

Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.
Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.
Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".
Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus.
Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus.^[11]

Pengaruh penting

Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.
Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.
Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.

Prinsip-prinsip dasar

Limit dan kecil tak terhingga

Definisi limit: kita katakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati titik p adalah L apabila untuk setiap bilangan ε > 0 apapun, terdapat bilangan δ > 0, sedemikian rupanya:

Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.
Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:

Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan:

jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:

Turunan

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Turunan

Grafik fungsi turunan.

Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.
Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:

,

dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.
Apabila z = x + h, h = x - z, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z mendekati x, maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.

Perhatikan bahwa ekspresi pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari fungsi tersebut.
Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f(x) = x² pada titik (3,9):

Ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik disebut kalkulus diferensial

Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f(x) di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.

[sunting] Notasi pendiferensialan

Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton, dan notasi Euler.
Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar y = ƒ(x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:

  ataupun  

Notasi Lagrange diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(x) ditulis sebagai ƒ′(x) ataupun hanya ƒ′.
Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila y = ƒ(t), maka mewakili turunan y terhadap t. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.
Notasi Euler menggunakan operator diferensial D yang diterapkan pada fungsi ƒ untuk memberikan turunan pertamanya Df. Apabila y = ƒ(x) adalah variabel terikat, maka sering kali x dilekatkan pada D untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel x. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:

  atau   .

Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear.

	Notasi Leibniz	Notasi Lagrange	Notasi Newton	Notasi Euler
Turunan ƒ(x) terhadap x		ƒ′(x)	dengan y = ƒ(x)

Integral

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Integral

Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ƒ(x), antara dua titik a dan b.

Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah , seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan).

Integral tertentu

Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:

secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.
Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.

Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.

Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x₁, x₂, x₃,..., x_{n - 1}} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:

Himpunan tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval . Lebar subinterval pertama [x₀,x₁] kita nyatakan sebagai Δx₁, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δx_i = x_i - x_{i - 1}. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang t_i. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (t_i, ƒ(t_i)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(t_i)· Δx_i dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:

Penjumlahan S_p disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.
Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:

Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi di sepanjang [a,b] dengan dan pilihan t_i apapun pada [x_{k - 1}, t_i], kita dapatkan

Secara matematis dapat kita tuliskan:

Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.

Contoh

Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu , yakni mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah
Pemilihan partisi ataupun titik t_i secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b - 0)/n = b/n dan titik t'_i yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:

dan , sehingga:

Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi mendekati 0, maka didapatkan:

Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.

Integral tak tentu

Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.

Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:

di mana

Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.
Misalkan terdapat sebuah fungsi f(x) = x², maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:

Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu : adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.

Teorema dasar

Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.
Teorema dasar kalkulus menyatakan:

Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka

Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),

Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral , daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann (lihat bagian atas), kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut. Anti derivatif dari fungsi adalah . Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu adalah:

Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka kita akan dapatkan:

Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar kalkulus ini adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan menerapkan definisi integral tertentu (lihat bagian atas). Oleh karena lebih praktis, teorema dasar kalkulus sering digunakan untuk mencari nilai integral tertentu.

Aplikasi

Pola spiral logaritma cangkang Nautilus adalah contoh klasik untuk menggambarkan perkembangan dan perubahan yang berkaitan dengan kalkulus.

Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus.
Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluks dari sebuah medan elektromagnetik . Contoh historis lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, dinyatakan sebagai laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut dengan arah yang sama.
Bahkan rumus umum dari hukum kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan, menggunakan perumusan kalkulus diferensial karena percepatan bisa dinyatakan sebagai turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga dirumuskan menggunakan kalkulus diferensial.